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2010年6月 6日 (日)

インド式計算法5 掛け算(2)

 前回(4回掛け算(1))のⅡと似ていますが、今回は十の位が足して10になり、一の位が同じ数の場合の簡単掛け算法をやって見ましょう。

Ⅲ 十の位が足して10になり、一の位が同じ数どうしの掛け算
38×78の場合
1.(十の位の数)×(十の位の数)+一の位の数=を計算。3×7+8=29
2.一の位どうしの掛け算。8×8=64
3.上記二つの数を並べれば、それが答えです。即ち2964です。

 同様に 65×45=  6×4+5=29と5×5=25故に2925
      
22×82=  2×8+2=18、2×2=。 故に1804

<理論>:十の位の数をaとbとし、一の位をcとすれば掛け合わせる2つの数は
(10a+c)と(10b+c)で、a+b=10なので、
(10a+c)と(10b+c)=100ab+10ac+10bc+c×c=100ab×10c(a+b)+c×c
=100ab×10c×10+c×c=
100(ab+c)+c×cとなっている。

Ⅳ 9の不思議:9が続く数とそれ以下の数の掛け算
99×54の場合
1.9が並ぶ桁数だけ空欄を作り、その前に掛ける数(54)より1引いた数を置く。54-1=53.よって、 53□□
2.上の計算値を9が続く数から引く。即ち99-53=46。これは1.の5、3の9に対する夫々の補数4、6ですね。これを上の空欄に入れる。5346となります。これが答えです。

 同様に  999×387は、387-1=386。故に 386613
      
9999×624は、624-1=623。故に 6239376
   (2番目は9が4桁なので、下4桁は、0623の9に対する補数とする)

<理論>9が続く数に掛ける数をaとすれば、999×aとなる。ここで、999=1000-1とすると、(1000-1)×aとなる。
(1000-1)×a=1000a-a=1000a-1000+1000-a=1000(a-1)+999-(a-1)。
a-1小さい数から1を引いた数を表わし、999-(a-1)その9に対する補数だと分りますね。

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